7. 콕 시스템의 숫자
콕 시스템에서 대부분의 데이터 타입을 귀납 타입으로 표현한다. 콕 패키지는 이 데이터 타입에 대한 다양한 성질, 함수, 정리를 제공한다. Arith 패키지는 자연수(0부터 무한대)에 대한 많은 정리들을 포함하고 있다. 자연수는 O(0을 표현하는)과 S를 컨스트럭터로 하는 귀납 타입으로 기술한다.
Print nat.
Inductive nat : Set := O : nat | S : nat -> nat
덧셈, 곱셈, 뺄셈 (x - y에서 x가 y보다 작으면 0)도 제공한다. 이 패키지는 ring 전술을 제공하는데, 덧셈과 곱셈의 결합 규칙과 교환 법칙과 배분 법칙 하에 자연수 식들 간의 등식이 성립하는지 증명한다. 이 전술은 뺄셈은 처리하지 않는다. 그 이유는 자연수에 대한 뺄셈의 특별한 정의(역주: 위의 괄호 내용) 때문이다. 앞에서 이미 설명한바와 같이 자연수 구문에 대한 편리 기능이 있다. 예를 들어, 3은 S (S (S O))이다.
자연수를 귀납 타입으로 정의하면 자연수를 받는 재귀 함수를 정의할 수 있다. 재귀 함수 호출에 대한 제약이 있다. 주어진 인자의 바로 앞 숫자를 재귀함수 호출의 인자로 사용하는 그러한 함수를 쉽게 정의할 수 있을 것이다. 예를 들어, 팩토리얼 함수이다.
Fixpoint nat_fact (n:nat) : nat :=
match n with O => 1 | S p => S p * nat_fact p end.
피보나치 함수의 정의다.
Fixpoint fib (n:nat) : nat :=
match n with
O => 0
| S q =>
match q with
O => 1
| S p => fib p + fib q
end
end.
ZArith 패키지는 정수를 표현하는 두 가지 데이터 타입을 제공한다. 양의 정수 (1부터 무한대)를 모델하는 이진 표현의 positive 귀납 타입과 세 개의 컨스트럭터(양의 정수, 음의 정수, 0을 구분하는)를 갖는 타입 Z이다. 이 패키지는 순서 개념과 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈, 루트와 같은 기본 연산을 제공한다. ring 전술은 정수에 대해서도 적용할 수 있다. 이번에는 뺄셈도 잘 지원한다. omega 전술은 nat 타입에 대한 선형식과 Z 타입의 선형식에 대해서도 잘 적용된다.
자연수가 아니라 정수를 가지고 작업하려면, 콕 시스템에게 모든 수에 관한 표기법을 정수에 관련된 표기법으로 해석하도록 요청하는 것이 편리하다. 다음 명령어를 사용한다.
Open Scope Z_scope.
타입 Z는 구조적 재귀에 적합하지 않다. 그래서 입력으로 양의 정수나 음의 정수를 받는 재귀 함수를 정의하는 것은 쉽지 않다. 이 문제를 해결하는 주요 방법은 [1]에서 설명한 기초가 튼튼한 재귀를 사용하는 것이다. 또다른 해결 방법은 반복자에 의존하는 것이다. 반복자는 동일한 연산을 주어진 횟수만큼 반복하는 연산이다. 횟수는 정수로 지정한다. 이 방법은 앞의 방법에 비해 강력하지는 않지만 이해하기 쉬운 장점이 있다. 이 반복자를 iter라 한다.
Check iter.
iter : Z -> forall A : Type, (A -> A) -> A -> A
예를 들어, 팩토리얼 함수를 다시 정의해서 테스트해보자. 입력으로 한 쌍의 숫자를 받아 다시 한 쌍의 숫자를 반환하는 보조 함수를 사용한다. n과 n!을 입력하면 출력은 n+1과 (n+1)!이다. 이 함수를 iter의 입력으로 준다.
Definition fact_aux (n:Z) :=
iter n (Z*Z) (fun p => (fst p + 1, snd p * (fst p + 1))) (0, 1).
Definition Z_fact (n:Z) := snd (fact_aux n).
Eval vm_compute in Z_fact 100.
93326...
iter로 정의한 함수의 성질을 증명하기 위해서 이 튜토리얼에서 설명한 내용으로 부족하다. 튜토리얼의 마지막에 관련 연습문제와 해를 제공한다.
이제부터 다시 자연수만 다루도록 돌아간다. 콕 시스템에게 다음 명령어를 주어 정수 표기법에 대한 규정을 해제한다.
Close Scope Z_scope.
===
번역
(1장)
Expressions : 식
Formulas : 식
infix : 인픽스
Logical Formulas : 논리식
Symbolic Computation : 기호 계산
Terms : 텀
Well-formed : 제대로 된 형태
(2장)
Keyword : 키워드
Boolean : 부울
Conjunction : 곱
Disjunction : 합
Negation : 부정
Construct : 구문
Pattern-matching : 패턴 매칭
Recursivity : 재귀 형태
Structural Recursion : 구조적 재귀
Subterm : 부분식
Sublist : 부분리스트
(3장)
Fact: 사실 명제
Theorem: 정리
Implication : 함축
Predicate : (술어) 명제
Rewriting : 다시쓰기
Equality : 등식
Goal : 목적 명제
Tactic : 전술
Hypothesis : 가정
Universal Quantification : 전칭 한정
Transitive : 추이적
Instantiation : 사례화
Associativity : 결합성
(4장)
Proof by induction : 귀납적 증명
Existential : 존재
Lemma : 보조 정리
(5장)
the step case of the proof by induction : 귀납적 증명의 귀납적 경우
(6장)
datatype : 타입, 데이터 타입
Binary tree : 이진 트리
Internal Node : 내부 노드
Leaf : 끝 노드
Proof by Cases : 경우를 나누어 증명
Constructor : 컨스트럭터
Injective : 단사적
(7장)
Well-founded : 기초가 튼튼한(?)
Iterator : 반복자
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