4. 숫자 프로그램의 성질을 증명하기


자연수에 대해 계산하는 프로그램의 성질을 증명하기위해 보통 여러 계산과정이 어떤 방식으로 연관되어 있음을 보일수 있다. 주어진 함수가 재귀방식이면 대개 귀납적 방식으로  증명한다. 이때 알아야할 전술은 다음과 같다.


  • induction 전술은 자연수 n에 대한 귀납적 증명을 한다. 증명을 두 부분으로 나누어, 우선 n이 0일때 증명하고자하는 성질이 성립함을 확인한다. 그 다음 p에 대한 성질로부터 S p에 대한 성질을 증명한다. p에 대한 가정을 귀납적 가정이라 부르고 IH로 시작하는 이름을 보통 붙인다. 이 전술은 0에 대한 목적 명제와 S p에 대한 목적 명제 두 개를 만든다. 
  • simpl 전술은 복잡한 인자를 갖는 재귀함수 호출을 해당하는 값으로 대체한다. 함수의 정의에 의해 이 값을 결정한다. 
  • discriminate 전술은 0 = S ...이나 true = false와 같이 선언하는 가정이 있을때 유용하다.
  • injection 전술은 S x = S y 모양의 가정에서 x = y를 알아내는데 도움이 된다. 


4.1 귀납적 증명

증명 예제를 살펴보자. 0부터 n개의 자연수들의 합이 잘 알려진 다항식을 이룬다는 것을 증명해보자.


Lemma sum_n_p : forall n, 2 * sum_n n + n = n * n.

induction n.


2 subgoals

  

  ============================

   2 * sum_n 0 + 0 = 0 * 0


subgoal 2 is:

 2 * sum_n (S n) + S n = S n * S n


새로 생성된 두 목적 명제에서, 첫번째 것은 n을 0으로 바꾸었고, 두번째는 n을 S n으로 바꾼것이다.  두번째 목적 명제에서 n에 대해 성립한다는 가정은 표시되어 있지 않다. 


첫번째 목적 명제는 매우 쉽다. sum_n, 덧셈, 곱셈의 정의에 의하면 등식의 양쪽이 모두 0이기 때문이다. reflexivity 전술로 해결한다. 


reflexivity.


이 전술을 쓰면 두번째 목적 명제만 남았고 콕 시스템에서 전체를 보여준다. 이제 귀납적 가정을 볼 수 있다. 


1 subgoal

  

  n : nat

  IHn : 2 * sum_n n + n = n * n

  ============================

   2 * sum_n (S n) + S n = S n * S n


여기에서 조금 생각할 필요가 있다. S n * S n을 n * n이 나타나는 식으로 펼칠수 있다. 그 다음 IHn으로 오른편에서 왼쪽 방향으로 다시 쓸 수 있다. assert  전술을 사용해 S n * S n과 새로운 값이 같다고 임시로 선언하고, ring 전술로 이 동등 선언이 사실 성립함을 보인다. 


assert (SnSn : S n * S n = n * n + 2 * n + 1).


2 subgoals

  

  n : nat

  IHn : 2 * sum_n n + n = n * n

  ============================

   S n * S n = n * n + 2 * n + 1


subgoal 2 is:

 2 * sum_n (S n) + S n = S n * S n


ring.


1 subgoal

  

  n : nat

  IHn : 2 * sum_n n + n = n * n

  SnSn : S n * S n = n * n + 2 * n + 1

  ============================

   2 * sum_n (S n) + S n = S n * S n


rewrite SnSn.


1 subgoal

  

  n : nat

  IHn : 2 * sum_n n + n = n * n

  SnSn : S n * S n = n * n + 2 * n + 1

  ============================

   2 * sum_n (S n) + S n = n * n + 2 * n + 1


이번에는 귀납적 가정을 이용해서 n * n을 2 * sum_n n + n으로 다시 쓴다. 


rewrite <- IHn.


1 subgoal

  

  n : nat

  IHn : 2 * sum_n n + n = n * n

  SnSn : S n * S n = n * n + 2 * n + 1

  ============================

   2 * sum_n (S n) + S n = 2 * sum_n n + n + 2 * n + 1


다음 단계에서 sum_n (S n)을 정의에 따라 펼쳐서 그 값을 sum_n n으로 표현해본다. simpl 전술을 사용하는데, 이것은 sum_n 뿐만 아니라 곱셈도 그 정의에 따라 펼치는 것을 시도한다.


sumpl.


1 subgoal

  

  n : nat

  IHn : 2 * sum_n n + n = n * n

  SnSn : S n * S n = n * n + 2 * n + 1

  ============================

   n + sum_n n + (n + sum_n n + 0) + S n =

   sum_n n + (sum_n n + 0) + n + (n + (n + 0)) + 1


그 다음 단계에서 ring 전술을 사용해서 목적 명제의 등식이 덧셈의 결합성과 교환 규칙에 의해 성립함을 보인다.


ring.

Qed.


4.2 귀납에서 더 강력한 문장

재귀 함수가 몇 단계의 패턴 매칭을 사용한다면 연속적인 여러 개의 숫자들에 대해 성질을 기술하는 문장을 증명하는 것이 낫다. evenb 함수에 대한 증명의 예로 살펴보자.


Lemma evenb_p : forall n, evenb n = true -> exists x, n = 2 * x.

assert (Main: forall n, (evenb n = true -> exists x, n = 2 * x) /\

                    (evenb (S n) = true -> exists x, S n = 2 * x)).


여기에서 원래 목적 명제보다 더 강력한 문장을 증명해본다. 즉, n 뿐만 아니라 S n에 대해서도 성립함을 증명한다. 그 다음 이전처럼 귀납 방식으로 진행한다. 더 강력한 문장을 귀납 방식으로 증명하는 것은 재귀함수 증명에서 흔히 볼 수 있다.


induction n.


3 subgoals

  

  ============================

   (evenb 0 = true -> exists x : nat, 0 = 2 * x) /\

   (evenb 1 = true -> exists x : nat, 1 = 2 * x)


subgoal 2 is:

 (evenb (S n) = true -> exists x : nat, S n = 2 * x) /\

 (evenb (S (S n)) = true -> exists x : nat, S (S n) = 2 * x)

subgoal 3 is:

 forall n : nat, evenb n = true -> exists x : nat, n = 2 * x


첫번째 목적 명제는 두 부분으로 나뉜다. 처음 부분은 결론에 나타난 존재 한정이 있는 문장이다. 전술 테이블을 보면 exists 전술로 어떤 값을 주면 된다. 이 경우 x의 값을 0으로 놓으면 0 = 2 * 0이 성립함을 쉽게 알 수 있다. 두번째 부분은 다르다. x의 값으로 놓을 수 있는 것이 없다. 하지만 evenb 1 = true는 성립하지 않는다. 왜냐하면 evenb 1은 false이고 false = true는 불가능하기 때문이다. 일관성이 없는 경우는 discriminate 전술을 사용한다.


split.

   exists 0; ring.

simpl; intros H; discriminate H.


나머지 증명에 대해 자세히 설명하지 않는다. 독자 스스로 증명해볼 것을 권한다. 


  split.

    destruct IHn as [_ IHn'].

    exact IHn'.


  simpl.

  intros H.

  destruct IHn as [IHn' _].

  assert (H' : exists x, n = 2 * x).

    apply IHn'.

    exact H.

  destruct H' as [x q].

  exists (x + 1).

  rewrite q.

  ring.


가정 Main을 일단 증명하면 원래 증명하려고 했던 명제로 돌아갈수 있다. 이때 firstorder 전술로 증명을 마무리할 수 있다. 설명을 위해 다른 방법을 보여줄 것이다.


1 subgoal

  

  Main : forall n : nat,

         (evenb n = true -> exists x : nat, n = 2 * x) /\

         (evenb (S n) = true -> exists x : nat, S n = 2 * x)

  ============================

   forall n : nat, evenb n = true -> exists x : nat, n = 2 * x


intros n ev.


1 subgoal

  

  Main : forall n : nat,

         (evenb n = true -> exists x : nat, n = 2 * x) /\

         (evenb (S n) = true -> exists x : nat, S n = 2 * x)

  n : nat

  ev : evenb n = true

  ============================

   exists x : nat, n = 2 * x


여기서 지금까지 언급하지 않았던 콕 시스템의 한가지 편의 기능을 사용할 수 있다. 정리의 문장이 전칭 한정이거나 함축의 형태이면 이 정리를 마치 함수인 것 처럼 쓸 수 있다. 어떤 식에 적용하면 이것으로 사례화된 새로운 정리를 얻을 수 있다. 위의 예에서 Main 가정을 사용해서 n에 대해 사례화시킬수 있다. 


  destruct (Main n) as [H _].

  apply H.

  exact ev.


Qed.


덧셈에 다른 정의에 관한 연습문제


자연수에 대한 덧셈을 새롭게 정의할 수 있다.


Fixpoint add n m := match n with 0 => m | S p => add p (S m) end.


다음을 증명하시오.


forall n m, add n (S m) = S (add n m)

forall n m, add (S n) m = S (add n m)

forall n m, add n m = n + m


새로운 연습문제를 증명할때 이전에 증명한 보조 정리를 사용할 수 있다.


홀수의 합에 대한 연습문제


앞에서부터 n개의 홀수를 모두 더한 합은 다음 함수로 정의한다.


Fixpoint sum_odd_n (n:nat) : nat :=

   match n with 0 => 0 | S p => 1 + 2 * p + sum_odd_n p end.


다음 문장을 증명하시오.


forall n:nat, sum_odd_n n = n * n



===

번역


(1장)

Expressions : 식

Formulas : 식

infix : 인픽스

Logical Formulas : 논리식

Symbolic Computation : 기호 계산

Terms : 텀

Well-formed : 제대로 된 형태


(2장)

Keyword : 키워드

Boolean : 부울

Conjunction : 곱

Disjunction : 합

Negation : 부정

Construct : 구문

Pattern-matching : 패턴 매칭

Recursivity : 재귀 형태

Structural Recursion : 구조적 재귀

Subterm : 부분식

Sublist : 부분리스트


(3장)

Fact: 사실 명제

Theorem: 정리

Implication : 함축

Predicate : (술어) 명제

Rewriting : 다시쓰기

Equality : 등식

Goal : 목적 명제

Tactic : 전술

Hypothesis : 가정

Universal Quantification : 전칭 한정

Transitive : 추이적

Instantiation : 사례화

Associativity : 결합성


(4장)

Proof by induction : 귀납적 증명

Existential : 존재

Lemma : 보조 정리


Posted by lazyswamp Trackback 0 : Comment 0

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